Formas de expresar funciones booleanas (página 2)

Partes: 1, 2

SOP EN MAPAS DE KARNAUGH

(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 5
(Gp:) 3
(Gp:) 2
(Gp:) 7
(Gp:) 6
(Gp:) 12
(Gp:) 13
(Gp:) 8
(Gp:) 9
(Gp:) 15
(Gp:) 14
(Gp:) 11
(Gp:) 10
(Gp:) AB
(Gp:) CD
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 1
(Gp:) 5
(Gp:) 1
(Gp:) 3
(Gp:) 2
(Gp:) 7
(Gp:) 6
(Gp:) 1
(Gp:) 12
(Gp:) 13
(Gp:) 8
(Gp:) 1
(Gp:) 9
(Gp:) 1
(Gp:) 15
(Gp:) 14
(Gp:) 11
(Gp:) 10
(Gp:) AB
(Gp:) CD
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

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SOP EN MAPAS DE KARNAUGH
¿Qué sucede cuando una función booleana no esta dada en forma canónica?

Supóngase que de da la siguiente función que no esta escrita en forma estándar:

Paso 1. Completar a forma canónica:

Paso 2. Encontrar los minterminos (Aunque la posición de los 1 se puede deducir a partir la forma canónica).

Paso 3. Ubicar en el mapa

(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 5
(Gp:) 3
(Gp:) 2
(Gp:) 1
(Gp:) 7
(Gp:) 6
(Gp:) A
(Gp:) BC
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 0
(Gp:) 1

1
1

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POS EN MAPAS DE KARNAUGH
El procedimiento consiste en dibujar el mapa y ubicar 0s en las celdas correspondientes a los maxtérminos de la función. Es necesario completar los términos cuando no estén en forma estándar y luego identificar los maxtérminos.

(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 5
(Gp:) 3
(Gp:) 2
(Gp:) 7
(Gp:) 0
(Gp:) 6
(Gp:) A
(Gp:) BC
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 0
(Gp:) 1

0
0

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POS EN MAPAS DE KARNAUGH

(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 5
(Gp:) 3
(Gp:) 2
(Gp:) 7
(Gp:) 6
(Gp:) 12
(Gp:) 13
(Gp:) 8
(Gp:) 9
(Gp:) 15
(Gp:) 14
(Gp:) 11
(Gp:) 10
(Gp:) AB
(Gp:) CD
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 5
(Gp:) 3
(Gp:) 2
(Gp:) 0
(Gp:) 7
(Gp:) 6
(Gp:) 12
(Gp:) 0
(Gp:) 13
(Gp:) 0
(Gp:) 8
(Gp:) 9
(Gp:) 15
(Gp:) 0
(Gp:) 14
(Gp:) 0
(Gp:) 11
(Gp:) 0
(Gp:) 10
(Gp:) AB
(Gp:) CD
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

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SIMPLIFICACION DE SOP Y POS
Reglas de simplificación:
Agrupar celdas adyacentes. Se agrupan 1s (minterm) o 0s (maxterm) de acuerdo al tipo de funciones lógicas.
Los grupos son potencias de 2, es decir se busca unir 2, 4, 8 (1s o 0s) que estén en celdas consecutivas.
Para encontrar la ecuación lógica resultante de los mapas de Karnaugh se observan las variables que no cambian dentro del grupo.

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SIMPLIFICACION DE MAPAS DE KARNAUGH
Reglas de simplificación:
Agrupar celdas adyacentes. Se agrupan 1s (minterm) o 0s (maxterm) de acuerdo al tipo de funciones lógicas.
Los grupos son potencias de 2, es decir se busca unir 2, 4, 8 (1s o 0s) que estén en celdas consecutivas.
Para encontrar la ecuación lógica resultante de los mapas de Karnaugh se observan las variables que no cambian dentro del grupo.

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MINIMIZACION USANDO MAPAS DE KARNAUGH
Método general
Convierta la función de la ecuación a la forma POS.
Coloque los 1s en la celda del mapa apropiada para cada termino.
Cubra todos los 1s al dibujar la menor cantidad de círculos grandes, con cada 1 incluido en al menos uno; escriba el correspondiente termino para cada circulo.
Hacer un OR de los términos resultantes para crear la función minimizada.

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MAPAS DE KARNAUGH DE DOS VARIABLES
Algunos tips:
Llene cada celda con el correspondiente valor de F.
Dibuje los círculos alrededor de los 1s adyacentes. (Grupos de 1, 2 o 4).
Los círculos indican oportunidad de optimización (se puede remover una variable).
Obtener la función OR de todos los términos contenidos en los círculos.
(Gp:) x
(Gp:) y
(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) 3
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 1

1
0
y’

(Gp:) x
(Gp:) y
(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) 3
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 1
(Gp:) 1

y’
x

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MAPAS DE KARNAUGH DE TRES VARIABLES
Recuerde: un K-map gráficamente coloca los minterminos uno próximo a otro solo cuando ellos difieren en una sola variable

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MAPAS DE KARNAUGH DE TRES VARIABLES
Algunos tips:
Los círculos pueden cruzar los lados derecho o izquierdo, esto por que los ejes son adyacentes.
Los círculos deben tener 1, 2, 4 o 8 celdas. 3, 5 o 7 no son permitidas.
Cuando se llenan todas la celdas la función es igual a 1.

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MAPAS DE KARNAUGH DE TRES VARIABLES

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MAPAS DE KARNAUGH DE TRES VARIABLES

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MAPAS DE KARNAUGH DE 4 VARIABLES

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MAPAS DE KARNAUGH DE 4 VARIABLES
Algunos tips:
Los K-maps de 4 variables siguen el mismo principio:
Adyacencia derecha/izquierda.
Adyacencia arriba/abajo.
Adyacencia implica diferencia en una sola variable:
Dos 1s adyacentes significa que una variable puede ser eliminada.
Cuatro 1s adyacentes significa que 2 variables pueden ser eliminadas.
Ocho 1s adyacentes significa que 3 variables pueden ser eliminadas.

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MAPAS DE KARNAUGH DE 4 VARIABLES

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SIMPLIFICACION DE SOP
(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 1
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 1
(Gp:) 5
(Gp:) 1
(Gp:) 3
(Gp:) 2
(Gp:) 7
(Gp:) 1
(Gp:) 6
(Gp:) 1
(Gp:) 12
(Gp:) 13
(Gp:) 8
(Gp:) 1
(Gp:) 9
(Gp:) 1
(Gp:) 15
(Gp:) 1
(Gp:) 14
(Gp:) 11
(Gp:) 10
(Gp:) AB
(Gp:) CD
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

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SIMPLIFICACION DE SOP
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 1
(Gp:) 5
(Gp:) 1
(Gp:) 3
(Gp:) 2
(Gp:) 1
(Gp:) 7
(Gp:) 6
(Gp:) 1
(Gp:) 12
(Gp:) 13
(Gp:) 1
(Gp:) 8
(Gp:) 1
(Gp:) 9
(Gp:) 1
(Gp:) 15
(Gp:) 1
(Gp:) 14
(Gp:) 1
(Gp:) 11
(Gp:) 1
(Gp:) 10
(Gp:) AB
(Gp:) CD
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

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SIMPLIFICACION DE POS
(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 5
(Gp:) 0
(Gp:) 3
(Gp:) 0
(Gp:) 2
(Gp:) 0
(Gp:) 7
(Gp:) 6
(Gp:) 0
(Gp:) 12
(Gp:) 13
(Gp:) 8
(Gp:) 9
(Gp:) 0
(Gp:) 15
(Gp:) 0
(Gp:) 14
(Gp:) 0
(Gp:) 11
(Gp:) 10
(Gp:) AB
(Gp:) CD
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

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SIMPLIFICACION DE POS
(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 4
(Gp:) 5
(Gp:) 3
(Gp:) 2
(Gp:) 0
(Gp:) 7
(Gp:) 6
(Gp:) 0
(Gp:) 12
(Gp:) 13
(Gp:) 8
(Gp:) 0
(Gp:) 9
(Gp:) 15
(Gp:) 0
(Gp:) 14
(Gp:) 0
(Gp:) 11
(Gp:) 10
(Gp:) AB
(Gp:) CD
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

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ESTADOS DON’T CARE EN MAPAS K
Algunas veces se producen combinaciones de las variables de entrada que no están definidas, es decir que no tienen un valor asignado para una combinación de entradas en especifico. Estas combinaciones se marcan con una X y pueden tomar el valor tanto de “1” ó “0” según la utilidad que presten en la simplificación de la función lógica.

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ESTADOS DON’T CARE EN MAPAS K
(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) X
(Gp:) 5
(Gp:) 1
(Gp:) 3
(Gp:) X
(Gp:) 2
(Gp:) 7
(Gp:) 6
(Gp:) 1
(Gp:) 12
(Gp:) 13
(Gp:) 1
(Gp:) 8
(Gp:) 9
(Gp:) X
(Gp:) 15
(Gp:) 1
(Gp:) 14
(Gp:) 1
(Gp:) 11
(Gp:) 1
(Gp:) 10
(Gp:) AB
(Gp:) CD
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 4
(Gp:) X
(Gp:) 5
(Gp:) 3
(Gp:) X
(Gp:) 2
(Gp:) 0
(Gp:) 7
(Gp:) 0
(Gp:) 6
(Gp:) 12
(Gp:) 0
(Gp:) 13
(Gp:) 8
(Gp:) 0
(Gp:) 9
(Gp:) X
(Gp:) 15
(Gp:) 14
(Gp:) 11
(Gp:) 10
(Gp:) AB
(Gp:) CD
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

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CONVERSION SOP ? POS
(Gp:) BD
(Gp:) AD

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CONVERSION SOP ? POS
A+B
(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) D

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CONVERSION SOP ? POS
(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 5
(Gp:) 1
(Gp:) 3
(Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) 7
(Gp:) 6
(Gp:) 1
(Gp:) 12
(Gp:) 13
(Gp:) 1
(Gp:) 8
(Gp:) 9
(Gp:) 1
(Gp:) 15
(Gp:) 1
(Gp:) 14
(Gp:) 1
(Gp:) 11
(Gp:) 1
(Gp:) 10
(Gp:) AB
(Gp:) CD
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 4
(Gp:) 0
(Gp:) 5
(Gp:) 3
(Gp:) 2
(Gp:) 0
(Gp:) 7
(Gp:) 0
(Gp:) 6
(Gp:) 12
(Gp:) 0
(Gp:) 13
(Gp:) 8
(Gp:) 0
(Gp:) 9
(Gp:) 15
(Gp:) 14
(Gp:) 11
(Gp:) 10
(Gp:) AB
(Gp:) CD
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

SOP
POS

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PROCESO DE SIMPLIFICACION COMPLETO
Construya un K-map y coloque los 1s y 0s en las celdas de acuerdo a la tabla de verdad.
Agrupe los 1s aislados los cuales no son adyacentes a otros 1s (single loops).
Agrupe cualquier par el cual contenga un 1 adyacente con solo otro 1 (loop doble).
Agrupe cualquier octeto aun si este contiene 1 o mas 1s que ya han sido agrupados.
Agrupe cualquier cuarteto que contenga uno o mas 1s que aun no han sido agrupados, asegúrese de usar el mínimo numero de grupos.
Agrupe cualquier par necesario para incluir cualquier 1s que no han sido aun agrupados, asegúrese de usar el mínimo numero de grupos.
Forme la expresión suma (OR) con todos los términos generados por cada grupo.

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PROCESO DE SIMPLIFICACION COMPLETO

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MAPAS K DE 5 VARIABLES Y 6 VARIABLES
Los mapas K de 5 y 6 variables existen pero son difíciles de minimizar.

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MAPAS K DE 5 VARIABLES

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MAPAS K DE 5 VARIABLES
Variables: A, B, C, D y E donde A = MSB y E = LSB.
Se hacen 2 mapas de 4 variables, donde un mapa es para una variable y el otro es para la misma variable pero complementada.
(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 5
(Gp:) 1
(Gp:) 3
(Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) 7
(Gp:) 6
(Gp:) 1
(Gp:) 12
(Gp:) 13
(Gp:) 1
(Gp:) 8
(Gp:) 9
(Gp:) 1
(Gp:) 15
(Gp:) 1
(Gp:) 14
(Gp:) 1
(Gp:) 11
(Gp:) 1
(Gp:) 10
(Gp:) BC
(Gp:) DE
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 1
(Gp:) 5
(Gp:) 1
(Gp:) 3
(Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) 7
(Gp:) 6
(Gp:) 1
(Gp:) 12
(Gp:) 13
(Gp:) 1
(Gp:) 8
(Gp:) 1
(Gp:) 9
(Gp:) 1
(Gp:) 15
(Gp:) 14
(Gp:) 1
(Gp:) 11
(Gp:) 1
(Gp:) 10
(Gp:) BC
(Gp:) DE
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

A = 0
A = 1

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SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 5 VARIABLES
Paso 1. Identificar grupos comunes a ambos Mapas
(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 5
(Gp:) 1
(Gp:) 3
(Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) 7
(Gp:) 6
(Gp:) 1
(Gp:) 12
(Gp:) 13
(Gp:) 1
(Gp:) 8
(Gp:) 9
(Gp:) 1
(Gp:) 15
(Gp:) 1
(Gp:) 14
(Gp:) 1
(Gp:) 11
(Gp:) 1
(Gp:) 10
(Gp:) BC
(Gp:) DE
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

A = 0
A = 1
f(A,B,C,D,E) =
(Gp:) BDE
(Gp:) + …

(Gp:) +
(Gp:) CE

(Gp:) +
(Gp:) CD

(Gp:) +
(Gp:) BDE

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SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 5 VARIABLES
Paso 2. Identificar grupos en cada mapa que agrupen a los 1s faltantes
(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 5
(Gp:) 1
(Gp:) 3
(Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) 7
(Gp:) 6
(Gp:) 1
(Gp:) 12
(Gp:) 13
(Gp:) 1
(Gp:) 8
(Gp:) 9
(Gp:) 1
(Gp:) 15
(Gp:) 1
(Gp:) 14
(Gp:) 1
(Gp:) 11
(Gp:) 1
(Gp:) 10
(Gp:) BC
(Gp:) DE
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

A = 0
A = 1
(Gp:) f(A,B,C,D,E) =
(Gp:) BDE
(Gp:) +
(Gp:) +
(Gp:) CE
(Gp:) +
(Gp:) CD
(Gp:) +
(Gp:) BDE

(Gp:) +
(Gp:) ABD

(Gp:) +
(Gp:) ABC

(Gp:) ABCDE

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MAPAS K DE 6 VARIABLES

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SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 6 VARIABLES
(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 1
(Gp:) 5
(Gp:) 3
(Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) 1
(Gp:) 7
(Gp:) 1
(Gp:) 6
(Gp:) 1
(Gp:) 12
(Gp:) 13
(Gp:) 1
(Gp:) 8
(Gp:) 9
(Gp:) 1
(Gp:) 15
(Gp:) 1
(Gp:) 14
(Gp:) 1
(Gp:) 11
(Gp:) 1
(Gp:) 10
(Gp:) CD
(Gp:) EF
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 5
(Gp:) 1
(Gp:) 3
(Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) 7
(Gp:) 1
(Gp:) 6
(Gp:) 1
(Gp:) 12
(Gp:) 13
(Gp:) 1
(Gp:) 8
(Gp:) 9
(Gp:) 15
(Gp:) 1
(Gp:) 14
(Gp:) 1
(Gp:) 11
(Gp:) 1
(Gp:) 10
(Gp:) CD
(Gp:) EF
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 5
(Gp:) 1
(Gp:) 3
(Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) 7
(Gp:) 6
(Gp:) 12
(Gp:) 13
(Gp:) 1
(Gp:) 8
(Gp:) 9
(Gp:) 1
(Gp:) 15
(Gp:) 1
(Gp:) 14
(Gp:) 1
(Gp:) 11
(Gp:) 1
(Gp:) 10
(Gp:) CD
(Gp:) EF
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11

(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 1
(Gp:) 5
(Gp:) 1
(Gp:) 3
(Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) 1
(Gp:) 7
(Gp:) 6
(Gp:) 1
(Gp:) 12
(Gp:) 13
(Gp:) 1
(Gp:) 8
(Gp:) 9
(Gp:) 1
(Gp:) 15
(Gp:) 1
(Gp:) 14
(Gp:) 1
(Gp:) 11
(Gp:) 1
(Gp:) 10
(Gp:) CD
(Gp:) EF
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11
(Gp:) 00
(Gp:) 01
(Gp:) 10
(Gp:) 11